Borne inférieure

Définition

Définition :
Soit $A\subset\Bbb R, A\neq\varnothing$
Le plus grand des minorants de $A$ (s'il existe) s'appelle la borne inférieure de $A$ et se note $\inf A$

(Majoration - Minoration)

Conditions d'existence

Si $A$ est une partie non vide de $\Bbb R$ et si $A$ est majoré, alors l'ensemble des majorants de $A$ admet un plus petit élément

Théorème :
toute partie non vide et minorée de $\Bbb R$ admet une borne inférieure

Caractérisation

Théorème :
Soit $A\subset\Bbb R,A\neq\varnothing$, $A$ majorée et soit $\alpha\in\Bbb R$
Les assertions suivantes sont équivalentes :
1. $\alpha=\inf A$
2. $\alpha$ vérifie les conditions suivantes
>- $$\forall x\in A,x\geqslant\alpha$$
>- $$\forall y\gt \alpha, \exists x\in A,x\lt y$$
3. $\alpha$ vérifie les deux conditions suivantes :
>- $$\forall x\in\ A,x\geqslant\alpha$$
>- $$\exists (x_n)_{n\in\Bbb N}\text{ tq }(x_{n\in A}\land\lim_{n\to+\infty}x_n=\alpha)$$

(Limite)

Propriétés

Liens avec l'inclusion

Relation entre la borne inférieure et l'inclusion :
$${{A\subset B}}\implies{{\inf A\geqslant\inf B}}$$

(Inclusion)

Exemples

Exemple : $A=\{1-\frac1n,n\geqslant1\}=\{0,\frac12,\frac23,\frac34,\ldots\}$
$0$ est un minimum et donc $\inf A=0$
$1$ est un majorant car $\forall n\geqslant1,1-\frac1n\leqslant1$
De plus, si $x_n=1-\frac1n,n\geqslant1$, on a $x_n\in A$ et $x_n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow1$
Donc, d'après le théorème, $1=\sup A$

(Suite réelle)

Exercices

Consigne: Pour tout entier $n\geqslant1$, on pose $E_n=\{k+\frac nk\mid k\in{\Bbb N}^*\}$
Montrer que $E_n$ a une borne inférieure et montrer que $$\inf E_n=\inf\left\{ k+\frac nk\;\middle|\;1\leqslant k\leqslant n\right\}$$
Et montrer que l'on a toujours $\inf E_n\geqslant2\sqrt n$

Existence de la borne inférieure
$k+\frac nk$ est évidemment positif, donc $E_n$ est minoré par $0$. $E_n$ admet donc une borne inférieure

Calculer la dérivée de $x\mapsto x+\frac nx$ pour connaître ses variations
On pose $f(x)=x+\frac nx$. Calculons $f^\prime(x)$ : $$\begin{align} f^\prime(x)&=1-\frac n{x^2}\\ &=\frac{x^2-n}{x^2}\\ &=\frac{(x-\sqrt n)\overbrace{(x+\sqrt n)}^{\geqslant0}}{\underbrace{x^2 }_{\geqslant0}}\end{align}$$

Construire le tableau de variations
Le signe de $f^\prime(x)$ dépend donc de $x-\sqrt n$. Le tableau de variation de $f$ est donc : $$\begin{array}{c|c|c}x&]1,\sqrt n[&]\sqrt n,+\infty[\\ \hline f^\prime(x)&-&+\\ \hline f(x)&\searrow&\nearrow\end{array}$$

En déduire le minimum global

Le minimum global de $f$ est donc : $$f(\sqrt n)=\sqrt n+\frac n{\sqrt n}=2\sqrt n$$
On a donc toujours bien $\inf E\geqslant2\sqrt n$

(Dérivée - Dérivation, Minimum global)

Math'φsics